Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(3x)-2xf(x^2)=24x-4x^3-9$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=-1$. Giá trị ${\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Lấy tích phân từ $0$ đến $1$ hai vế của đẳng thức $3f(3x)-2xf(x^2)=24x-4x^3-9$, ta được:
${\int }_0^{1}3f(3x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}2xf(x^2)\mathrm{d}x={\int }_0^1(24x-4x^3-9)\mathrm{d}x=2$
Đổi biến $t=3x$ ở tích phân thứ nhất và $u=x^2$ ở tích phân thứ hai, ta có:
${\int }_0^{3}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x=2\iff {\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=2$
Thay $x=1$ vào đẳng thức đã cho: $3f(3)-2f(1)=11\Rightarrow 3f(3)-2(-1)=11\Rightarrow f(3)=3$.
Sử dụng tích phân từng phần:
${\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=[xf(x){]}_1^3-{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=3f(3)-f(1)-2=3\cdot 3-(-1)-2=8$
Chọn đáp án A.