Đạo hàm của hàm số $y={\log }_2(x^2-1)$ là

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $3$ (tham khảo hình vẽ).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $C{B}^{\prime }$ bằng

[IMAGE:img_1]

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_2(x-1)<3$ là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a}=(2;4;-2)$ và $\vec{b}=(1;-2;3)$. Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ như sau:
Số điểm cực đại của hàm số $y=f(x)$ là

[IMAGE:img_1]

Cho biết ${\log }_{a}3=5$, khi đó $P={\log }_a(3a^5)$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=2f(x)$ là

[IMAGE:img_1]

Cho biết ${\int }_{-1}^1(1+f(x))\mathrm{d}x=3$ và ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=3$. Biểu thức ${\int }_{-1}^{3}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng $2$ và cạnh bên bằng $3$ thì có thể tích là

Có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút của đoạn thẳng đó được lấy từ các đỉnh của một bát giác đều?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(-1;2;0)$, $B(3;1;2)$, $C(-2;0;1)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Hàm số $y=x^3(4-x)$ nghịch biến trên khoảng

Cho hình nón có chiều cao $h=3$ và bán kính đáy $r=4$. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng

Cho khối cầu có thể tích bằng $36\pi$. Diện tích của mặt cầu là

Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{2^x}$ là

Biết rằng $\int f(x)\mathrm{d}x=\sin x-\frac{x^2}{2}+C$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và tiếp xúc trục hoành. Phương trình của mặt cầu $(S)$ là

Cho $a,b$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn ${\log }_{a}b=2$. Giá trị $P={\log }_{a^2}b+{\log }_{a{b}^2}{b}^5$ bằng

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn $a,b$ khác $1$, giá trị của biểu thức $P={\log }_{\sqrt{a}}{b}^3\cdot {\log }_b{a}^4$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;-1)$, $B(3;1;-2)$. Số đo góc $\widehat{OAB}$ là

Biết đường thẳng $y=3x-5$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x-2}$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Hàm số $y=x^4-2x^2+2024$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2+2$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua ba điểm $A(3;0;0)$, $B(0;-2;0)$, $C(0;0;1)$ có phương trình là

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ và $F(-2)=-12$, $F(4)=-6$. Tích phân ${\int }_{-2}^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3x-1}{x-2}$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $A(2;1;1)$ và đi qua điểm $B(5;1;-3)$ có phương trình là

Từ một nhóm học sinh gồm $8$ nam và $7$ nữ, chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh. Xác suất để $5$ học sinh được chọn có cả nam và nữ mà nam nhiều hơn nữ bằng

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_2(x+1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(5-x)>0$ là

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-\frac{4(m+1)}{3}{x}^3+2m{x}^2$ có hai điểm cực trị cùng nằm trên trục hoành?

Cho $y=f(x)$, $y=g(x)$ lần lượt là các hàm đa thức bậc ba và bậc nhất có đồ thị như hình vẽ.
Biết tung độ của $A$ và $C$ lần lượt là $\frac{7}{4}$ và $\frac{4}{3}$. Hình phẳng được đánh dấu có diện tích bằng $\frac{40}{3}$. Giá trị của tích phân ${\int }_1^2[f(x)-x]\mathrm{d}x$ bằng.

[IMAGE:img_1]

Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Biết rằng ${\log }_{6}45=\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$, với $m,n,p\in \mathbb{Z}$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=3$. Gọi $(T)$ là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu $(S)$ và có thiết diện qua trục của $(T)$ lớn nhất. Diện tích toàn phần của hình trụ $(T)$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $y$ để tập nghiệm của bất phương trình $({\log }_{2}x-2)(2^x-y)<0$ có ít nhất $1$ số nguyên và không quá $7$ số nguyên?

Trong không gian $Oxyz$, gọi $(C)$ là đường tròn giao của mặt cầu $(S):x^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=4$ và mặt phẳng $(P):x+y+z+1=0$. Mặt cầu đi qua điểm $A(-1;2;1)$ và chứa đường tròn $(C)$ có bán kính là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(3x)-2xf(x^2)=24x-4x^3-9$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=-1$. Giá trị ${\int }_1^{3}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(x)-e^{f(x)+3}=m$ có $4$ nghiệm phân biệt?

[IMAGE:img_1]

Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_3(x+3y)+x^2+3y^2+4xy-x-y=0$ và $x+y>0$, $x\in [-2024;2024]$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật tâm $O$. Điểm $H$ trên cạnh $BC$ sao cho $BC=3BH$. Biết rằng $AB=a$, $AD=a\sqrt{3}$, $SC=SD=\frac{4a\sqrt{3}}{3}$, $SH=SO$. Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là

Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh $S$ như hình vẽ, biết $OS=AB=4\text{ m}$, $O$ là trung điểm của $AB$. Parabol trên được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức chi phí: phần trên là phần kẻ sọc $160.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ được tô đậm $200.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại $250.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tổng chi phí để sơn cả $3$ phần gần nhất với số nào sau đây?

[IMAGE:img_1]

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;-3;3)$, $B(-2;2;-2)$, $C(-5;4;-4)$. Tập hợp tất cả các điểm $M$ thay đổi thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=\frac{3}{2}$ là mặt cầu $(S)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $C$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm nào sau đây?

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ và thỏa mãn $(x^2+x)(f^{\prime }(x)-1)=x+1-f(x)$ với mọi $x\in (0;+\infty )$ và $f(1)=4$. Biểu thức $I={\int }_1^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $\widehat{CBA}=\widehat{BAD}=90^{\circ }$, $AB=BC=2a$, $AD=a$. Biết rằng $SA=SB$ và $\widehat{SCD}=90^{\circ }$. Cạnh bên $SA$ hợp với đáy một góc $45^{\circ }$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Các số thực $x,y$ thay đổi thỏa mãn $(x^2+y^2){\log }_2\frac{x^2+y^2+1}{x+2y}=2x+4y-1$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x-y-1}{y+4}$. Biểu thức $M-m$ có giá trị bằng