Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^4-\frac{4(m+1)}{3}{x}^3+2m{x}^2$ có hai điểm cực trị cùng nằm trên trục hoành?

Ta có $y^{\prime }=4x^3-4(m+1)x^2+4mx=4x(x^2-(m+1)x+m)$.
$y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2-(m+1)x+m=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=m\end{array}$
Nhận thấy tại $x=0$ thì $y(0)=0$ (điểm $(0;0)$ đã nằm trên trục hoành).
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cùng nằm trên trục hoành thì hàm số phải có $3$ điểm cực trị (tức là $m\ne 0$ và $m\ne 1$) và một trong hai điểm cực trị còn lại nằm trên trục hoành:
$\{\begin{array}{l}m\ne 0,m\ne 1\\ [\begin{array}{l}y(1)=0\\ y(m)=0\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ne 0,m\ne 1\\ [\begin{array}{l}1-\frac{4(m+1)}{3}+2m=0\\ m^4-\frac{4(m+1)}{3}{m}^3+2m^3=0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=\frac{1}{2}\\ m=2\end{array}$
Vậy có $2$ giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn.
Chọn đáp án D.