Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(3;-3;3)$, $B(-2;2;-2)$, $C(-5;4;-4)$. Tập hợp tất cả các điểm $M$ thay đổi thỏa mãn $\frac{MA}{MB}=\frac{3}{2}$ là mặt cầu $(S)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $C$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm nào sau đây?

Gọi $M(x;y;z)$. Từ giả thiết $\frac{MA}{MB}=\frac{3}{2}\iff 4M{A}^2=9M{B}^2$, ta có:
$4[(x-3{)}^2+(y+3{)}^2+(z-3{)}^2]=9[(x+2{)}^2+(y-2{)}^2+(z+2{)}^2]$
$\iff 5(x^2+y^2+z^2)+60x-60y+60z=0\iff (x+6{)}^2+(y-6{)}^2+(z+6{)}^2=108$
Do đó mặt cầu $(S)$ có tâm $I(-6;6;-6)$ và bán kính $R=6\sqrt{3}$.
Ta có $\overrightarrow{IC}=(1;-2;2)\Rightarrow IC=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}=3<R$, nên điểm $C$ nằm trong mặt cầu $(S)$.
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $C$ cắt $(S)$ theo đường tròn giao tuyến có bán kính $r=\sqrt{R^2-d^2(I,(P))}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất, tức là $IC\perp (P)$.
Khi đó $(P)$ đi qua $C(-5;4;-4)$ và nhận $\overrightarrow{IC}=(1;-2;2)$ làm vectơ pháp tuyến, nên có phương trình:
$1(x+5)-2(y-4)+2(z+4)=0\iff x-2y+2z+21=0$
Thay tọa độ điểm $(-1;4;-6)$ vào phương trình $(P)$: $-1-2\cdot 4+2\cdot (-6)+21=0$ (thỏa mãn).
Chọn đáp án C.