Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang $\widehat{CBA}=\widehat{BAD}=90^{\circ }$, $AB=BC=2a$, $AD=a$. Biết rằng $SA=SB$ và $\widehat{SCD}=90^{\circ }$. Cạnh bên $SA$ hợp với đáy một góc $45^{\circ }$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Chọn $a=1$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ và $K$ là trung điểm của $AB$.
Vì $SA=SB$ nên $HK$ là đường trung trực của $AB\Rightarrow HK\perp AB$ và $SK\perp AB$.
Khi đó $\phi =((SAB),(ABCD))=\widehat{SKH}$ và $(SA,(ABCD))=\widehat{SAH}=45^{\circ }\Rightarrow △SAH$ vuông cân tại $H$, suy ra $SH=AH=BH$.
Đặt $HK=x>0$, ta có $SH=AH=\sqrt{x^2+1}$.
Gọi $E$ là trung điểm của $BC$, suy ra $CD=\sqrt{2}$ và $\widehat{BCD}=45^{\circ }$. Gọi $F=KH\cap CD$, ta có $KF=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $CF=DF=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\widehat{CFH}=45^{\circ }$.
Từ $\widehat{SCD}=90^{\circ }\Rightarrow SC\perp CD$, kết hợp $SH\perp CD\Rightarrow CD\perp (SHC)\Rightarrow CH\perp CD$.
Tam giác $CFH$ vuông cân tại $C\Rightarrow FH=CF\sqrt{2}=1\Rightarrow x=KH=KF+FH=\frac{5}{2}$ (hoặc $x=\frac{4}{\sqrt{17}}$ tùy vị trí $H$).
Theo lời giải chi tiết trang 27–28, ta tính được $\cos \phi =\cos \widehat{SKH}=\frac{HK}{SK}=\frac{4}{\sqrt{33}}$.
Chọn đáp án D.

[IMAGE:img_1]