Cho mặt cầu $(S)$ có bán kính $R=3$. Gọi $(T)$ là hình trụ có hai đường tròn đáy nằm trên mặt cầu $(S)$ và có thiết diện qua trục của $(T)$ lớn nhất. Diện tích toàn phần của hình trụ $(T)$ bằng

Thiết diện qua trục của hình trụ $(T)$ là hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn lớn của mặt cầu có đường kính $AC=2R=6$.
Đặt $AD=x\in (0;6)$, ta có $CD=\sqrt{A{C}^2-A{D}^2}=\sqrt{36-x^2}$.
Diện tích thiết diện qua trục là $S_{ABCD}=AD\cdot CD=x\sqrt{36-x^2}\le \frac{x^2+(36-x^2)}{2}=18$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=\sqrt{36-x^2}\iff x=3\sqrt{2}\Rightarrow AD=CD=3\sqrt{2}$.
Vậy hình trụ có bán kính đáy $r=\frac{AD}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ và chiều cao $h=CD=3\sqrt{2}$.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
$S_{\text{tp}}=2\pi r(r+h)=2\pi \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}\right)=27\pi$
Chọn đáp án D.

[IMAGE:img_1]