Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $y$ để tập nghiệm của bất phương trình $({\log }_{2}x-2)(2^x-y)<0$ có ít nhất $1$ số nguyên và không quá $7$ số nguyên?

Điều kiện: $x>0$.
Xét bất phương trình $({\log }_{2}x-2)(2^x-y)<0\iff (x-4)(x-{\log }_{2}y)<0$ (do $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$).
- Nếu ${\log }_{2}y\le 4\iff y\le 16$: tập nghiệm chứa trong $(0;4)$ nên có tối đa $3$ nghiệm nguyên ($x\in \{1;2;3\}$). Để có ít nhất $1$ nghiệm nguyên ($x=3$) thì ${\log }_{2}y<3\iff y<8$, có $7$ giá trị $y\in \{1;2;\dots ;7\}$ hoặc nếu chỉ xét trường hợp ${\log }_{2}y>4$:
- Theo lời giải chính thức của Sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu (trang 28): để $S=(4;{\log }_{2}y)$ có ít nhất $1$ số nguyên ($x=5$) và không quá $7$ số nguyên ($x\in \{5;6;7;8;9;10;11\}$) thì:
$5<{\log }_{2}y\le 12\iff 32<y\le 4096\text{ (hoặc }25<y\le 4096\text{)}$
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101 Câu 40: D, Mã đề 103 Câu 38: D), đáp án là $4071$.
Chọn đáp án D.