Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau.



Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình sau có đúng 2 nghiệm phân biệt:
$2^{f(x)+\frac{1}{f(x)}}+{\log }_2\left[f^2(x)-2f(x)+3\right]=m$

Đặt $t=f(x)$. Từ bảng biến thiên, $t\in [1;4]$. Xét hàm số $g(t)=2^{t+\frac{1}{t}}+{\log }_2(t^2-2t+3)$ trên $[1;4]$, ta có $g^{\prime }(t)=2^{t+\frac{1}{t}}\ln 2\left(1-\frac{1}{t^2}\right)+\frac{2t-2}{(t^2-2t+3)\ln 2}>0,\forall t\in (1;4]$, nên $g(t)$ đồng biến trên $[1;4]$ với $g(1)=5$, $g(2)=4\sqrt{2}+{\log }_{2}3\approx 7,24$, $g(3)=2^{10/3}+{\log }_{2}6\approx 12,66$, $g(4)=2^{17/4}+{\log }_{2}11\approx 22,49$. Phương trình $f(x)=t$ có đúng 2 nghiệm phân biệt khi $t\in (1;2)\cup (3;4)$, tương ứng $m\in (g(1);g(2))\cup (g(3);g(4))$. Các giá trị nguyên của $m$ là $\{6,7\}\cup \{13,14,\dots ,22\}$, có tất cả $2+10=12$ giá trị.