Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

[IMAGE_1]

Số nghiệm thực của phương trình $\sqrt{f(f(x)+1)+1}=f(x)+2$ là

Đặt $t=f(x)+1$, phương trình trở thành $\sqrt{f(t)+1}=t+1\iff \{\begin{array}{l}t\ge -1\\ f(t)=t^2+2t\end{array}$. Từ đồ thị ta có $f(t)=t^3-3t^2+1$, nên $f(t)=t^2+2t\iff t^3-4t^2-2t+1=0$ có $3$ nghiệm $t_1\in (-1;0),t_2\in (0;1),t_3>4$. Suy ra $f(x)=t_1-1\in (-2;-1)$ (có $3$ nghiệm), $f(x)=t_2-1\in (-1;0)$ (có $3$ nghiệm) và $f(x)=t_3-1>3$ (có $1$ nghiệm). Vậy phương trình có $7$ nghiệm thực.