Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ sau:


Số nghiệm thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ của phương trình $2f(2\cos x+1)+3=0$ là

Chọn A.
Ta có: $2f(2\cos x+1)+3=0⟺f(2\cos x+1)=-\frac{3}{2}$.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(t)=-\frac{3}{2}$ có 3 nghiệm:
$[\begin{array}{ll}t=m\in (-\infty ;-2)& (1)\\ t=n\in (0;1)& (2)\\ t=p\in (1;2)& (3)\end{array}$
Với $t=2\cos x+1$, ta có:
- Với (1): $2\cos x+1=m<-2⟺\cos x=\frac{m-1}{2}<-\frac{3}{2}<-1⟹$ phương trình vô nghiệm.
- Với (2): $2\cos x+1=n\in (0;1)⟺\cos x=\frac{n-1}{2}\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ (độ dài $3,5\pi$), đường thẳng $\cos x=c\in \left(-\frac{1}{2};0\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 3 điểm phân biệt.
- Với (3): $2\cos x+1=p\in (1;2)⟺\cos x=\frac{p-1}{2}\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$.
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$, đường thẳng $\cos x=c^{\prime }\in \left(0;\frac{1}{2}\right)$ cắt đồ thị hàm số $y=\cos x$ tại đúng 4 điểm phân biệt.
Tổng số nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};3\pi \right]$ là $3+4=7$ nghiệm.