Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh $a$. Gọi $K$ là điểm trên cạnh $C{C}^{\prime }$ sao cho $CK=\frac{2}{3}a$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua hai điểm $A,K$ và song song với $BD$, mặt phẳng $(\alpha )$ cắt $B{B}^{\prime },D{D}^{\prime }$ lần lượt tại $M$ và $N$. Thể tích của khối đa diện $BCDNMK$ bằng

Chọn C.


Vì $(\alpha )\parallel BD$ nên $MN\parallel BD$.
Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I=MN\cap O{O}^{\prime }$.
Khi đó $I$ là trung điểm của $MN$ và trong hình thang $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$, đoạn $AK$ cắt $O{O}^{\prime }$ tại $I$.
Theo định lý Ta-lét trong hình thang $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ với $O$ là trung điểm $AC$:
$OI=\frac{1}{2}CK=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}a=\frac{a}{3}.$
Vì $MN\parallel BD$ nên $BM=DN=OI=\frac{a}{3}$.
Gọi $V$ là thể tích khối đa diện cần tính. Do tính đối xứng qua mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$:
$V=2V_{OBC.IMK}=2(V_{A.BCKM}-V_{A.OBMI})=\frac{2}{3}(AB\cdot S_{BCKM}-AO\cdot S_{OBMI}).$
Ta có $S_{BCKM}=\frac{(BM+CK)\cdot BC}{2}=\frac{\left(\frac{a}{3}+\frac{2a}{3}\right)a}{2}=\frac{a^2}{2}$.
$S_{OBMI}=\frac{(BM+OI)\cdot OB}{2}=\frac{\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{3}\right)\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{6}$.
$V=\frac{2}{3}\left[a\cdot \frac{a^2}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{6}\right]=\frac{2}{3}\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{6}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^3}{3}=\frac{2a^3}{9}.$