Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[0;1]$ và thỏa mãn $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính tích phân $I={\int }_0^{1}f(x)dx$.

Chọn C.
Từ giả thiết $2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$, đặt $t=1-x\Rightarrow x=1-t$, ta được phương trình:
$2f(1-t)+3f(t)=\sqrt{1-(1-t{)}^2}=\sqrt{2t-t^2}\Rightarrow 3f(x)+2f(1-x)=\sqrt{2x-x^2}$.
Kết hợp với phương trình ban đầu, ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}2f(x)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}\\ 3f(x)+2f(1-x)=\sqrt{2x-x^2}\end{array}$.
Nhân phương trình thứ hai với 3 rồi trừ đi 2 lần phương trình thứ nhất:
$9f(x)+6f(1-x)-[4f(x)+6f(1-x)]=3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}$
$\Rightarrow 5f(x)=3\sqrt{2x-x^2}-2\sqrt{1-x^2}\Rightarrow f(x)=\frac{3}{5}\sqrt{2x-x^2}-\frac{2}{5}\sqrt{1-x^2}$.
Do đó:
$I={\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{3}{5}{\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}dx-\frac{2}{5}{\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$.
- Đặt $J_1={\int }_0^1\sqrt{2x-x^2}dx={\int }_0^1\sqrt{1-(x-1{)}^2}dx$. Đặt $x-1=\sin u\Rightarrow J_1=\frac{\pi }{4}$.
- Đặt $J_2={\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$. Đặt $x=\sin u\Rightarrow J_2=\frac{\pi }{4}$.
Suy ra: $I=\frac{3}{5}\cdot \frac{\pi }{4}-\frac{2}{5}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{1}{5}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{20}$.