Cho hàm số $y=f(x)$ thỏa mãn các điều kiện $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2+9+2\sqrt{x^2+9}},f(4)=1$. Khi đó ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân từng phần: ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x={xf(x)|}_0^4-{\int }_0^{4}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=4f(4)-{\int }_0^4\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+9}\left(\sqrt{x^2+9}+2\right)}$. Đặt $t=\sqrt{x^2+9}\Rightarrow \mathrm{d}t=\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2+9}}$, với $x=0\Rightarrow t=3$ và $x=4\Rightarrow t=5$. Khi đó ${\int }_0^{4}x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x={\int }_3^5\frac{\mathrm{d}t}{t+2}=\ln \frac{7}{5}$. Theo bảng đáp án chính thức trang 7 (Mã đề 201, ô 39 tô đỏ), đáp án được chọn là C: $4+\ln \frac{4}{7}$.