Cho hàm $y=f(x)=x^3+3x^2-1$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=e^{g(x)}$ có đúng hai đường tiệm cận biết $g(x)=\frac{(x^3+1)(x+m)}{\sqrt{f^2(x)-2f(x)-3}}$.

Ta có $g(x)=\frac{(x^3+1)(x+m)}{\sqrt{f^2(x)-2f(x)-3}}=\frac{(x^3+1)(x+m)}{\sqrt{x^2(x+3)(x-1)(x+2{)}^2}}$.
Tập xác định của hàm số $y=e^{g(x)}$ là: $(-\infty ;-3)\cup (1;+\infty )$.
Dễ thấy đồ thị hàm số $y=e^{g(x)}$ không có tiệm cận ngang.
Để đồ thị hàm số có đúng $2$ tiệm cận thì đường thẳng $x=-3;x=1$ phải là tiệm cận của đồ thị hàm số.
Suy ra ${\lim }_{x\to -3^{-}}g(x)=+\infty \iff (-27+1)(-3+m)>0\iff m<3$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}g(x)=+\infty \iff (1+1)(1+m)>0\iff m>-1$.
Vậy có $3$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.