Cho hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x+y\ge 4\\ 2x-y\le 2\\ y\le 3\end{array}$$ (I). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m\in [10;20]$ để bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi cặp số $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình (I).

Miền nghiệm của hệ (I) là tam giác với các đỉnh là giao điểm của từng cặp đường thẳng:

$x+y=4$ và $2x-y=2$ cho $(2;2)$; $x+y=4$ và $y=3$ cho $(1;3)$; $2x-y=2$ và $y=3$ cho $\left(\frac{5}{2};3\right)$.

Xét $F=2x-5y$, giá trị nhỏ nhất của $F$ trên miền tam giác đạt tại một trong các đỉnh:

$F(2;2)=-6$; $F(1;3)=-13$; $F\left(\frac{5}{2};3\right)=-10$. Suy ra $\min F=-13$.

Bất phương trình $2x-5y+m\ge 0$ đúng với mọi $(x;y)$ thỏa mãn (I) khi và chỉ khi

$-13+m\ge 0\iff m\ge 13$.

Kết hợp $m\in [10;20]$, $m$ nguyên dương ta được $m\in \{13;14;\dots ;20\}$. Vậy có 8 giá trị.