Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $3a$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình vuông.



Ta có $\frac{d(A,(SCD))}{d(O,(SCD))}=\frac{AC}{OC}=2\Rightarrow d(A,(SCD))=2d(O,(SCD))$.

Tam giác $ACD$ vuông tại $D$ có $AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow OD=OC=a\sqrt{2}$.

Tam giác $SCO$ vuông tại $O$ có $SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{9a^2-2a^2}=a\sqrt{7}$.

Do $SO,OC,OD$ đôi một vuông góc nên gọi $h=d(O,(SCD))$ thì:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{D}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{1}{7a^2}+\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{8}{7a^2}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{14}}{4}$.

Vậy $d(A,(SCD))=2h=\frac{a\sqrt{14}}{2}$.