Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều, $SA\perp (ABC)$. Mặt phẳng $(SBC)$ cách $A$ một khoảng bằng $2a$ và hợp với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $30^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng:

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, do $\Delta ABC$ đều nên $AM\perp BC$. Kẻ $AH\perp SM$ tại $H$, khi đó $AH\perp (SBC)$, do đó $d(A,(SBC))=AH=2a$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SMA}=30^{\circ }$. Trong tam giác vuông $SAM$ tại $A$, ta có $SA=AH\tan 30^{\circ }$? Không, $\sin 30^{\circ }=\frac{AH}{AM}\Rightarrow AM=\frac{AH}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2a}{1/2}=4a$. Mặt khác $\tan 30^{\circ }=\frac{SA}{AM}\Rightarrow SA=AM\tan 30^{\circ }=\frac{4a}{\sqrt{3}}$. Do $\Delta ABC$ đều nên $AM=\frac{x\sqrt{3}}{2}=4a\Rightarrow x=\frac{8a}{\sqrt{3}}$ (với $x$ là độ dài cạnh $BC$). Diện tích đáy là $S_{ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{64a^2}{3}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}{a}^2}{3}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{16\sqrt{3}{a}^2}{3}\cdot \frac{4a}{\sqrt{3}}=\frac{64a^3}{9}$. Chọn A.