Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $6cm$. Các điểm $M$, $N$, $P$ lần lượt thuộc cạnh $SA$, $SB$, $SC$ sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}=\frac{SP}{SC}=\frac{2}{3}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:



a) $MN\parallel (ABC)$.

b) $(MNP)\parallel (ABC)$.

c) Tam giác $MNP$ là tam giác đều.

d) Một mặt phẳng $(\alpha )$ qua $M$ và song song với $(ABC)$ cắt các mặt bên của hình chóp $S.ABC$ theo các đoạn giao tuyến tạo thành một tam giác có diện tích bằng $\frac{9\sqrt{3}}{4}c{m}^2$.

a) Đúng. Trong tam giác $SAB$ có $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}$ nên $MN\parallel AB$ (định lí Thales đảo). Mà $AB\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$.

b) Đúng. Tương tự, $NP\parallel BC$. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$, $NP$ lần lượt song song với $AB$, $BC$ nằm trong $(ABC)$, nên $(MNP)\parallel (ABC)$.

c) Đúng. Từ $MN\parallel AB$, $NP\parallel BC$, $MP\parallel AC$ suy ra $MN=\frac{2}{3}AB=4$, $NP=\frac{2}{3}BC=4$, $MP=\frac{2}{3}AC=4$ (đơn vị $cm$). Vậy tam giác $MNP$ đều.

d) Sai. Qua $M$ chỉ có một mặt phẳng song song với $(ABC)$, mà theo ý b) thì $(MNP)$ qua $M$ và song song với $(ABC)$, nên $(\alpha )$ trùng với $(MNP)$. Các đoạn giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt bên là $MN$, $NP$, $PM$, tạo thành tam giác đều $MNP$ cạnh $4cm$.

Diện tích tam giác $MNP$ là $\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}c{m}^2$, khác $\frac{9\sqrt{3}}{4}c{m}^2$.
a) Đúng. Trong tam giác $SAB$ có $\frac{SM}{SA}=\frac{SN}{SB}$ nên $MN\parallel AB$ (định lí Thales đảo). Mà $AB\subset (ABC)$ và $MN\not\subset (ABC)$ nên $MN\parallel (ABC)$.
b) Đúng. Tương tự, $NP\parallel BC$. Mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $MN$, $NP$ lần lượt song song với $AB$, $BC$ nằm trong $(ABC)$, nên $(MNP)\parallel (ABC)$.
c) Đúng. Từ $MN\parallel AB$, $NP\parallel BC$, $MP\parallel AC$ suy ra $MN=\frac{2}{3}AB=4$, $NP=\frac{2}{3}BC=4$, $MP=\frac{2}{3}AC=4$ (đơn vị $cm$). Vậy tam giác $MNP$ đều.
d) Sai. Qua $M$ chỉ có một mặt phẳng song song với $(ABC)$, mà theo ý b) thì $(MNP)$ qua $M$ và song song với $(ABC)$, nên $(\alpha )$ trùng với $(MNP)$. Các đoạn giao tuyến của $(\alpha )$ với các mặt bên là $MN$, $NP$, $PM$, tạo thành tam giác đều $MNP$ cạnh $4cm$.

Diện tích tam giác $MNP$ là $\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}c{m}^2$, khác $\frac{9\sqrt{3}}{4}c{m}^2$.