Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, $AB=a$, $SA$ vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

Chọn D
- Ta có: $\{\begin{array}{rl}BC& \perp BA\\ BC& \perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow SB\perp BC$.
- Hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$ có $SB\subset (SBC),SB\perp BC$ và $AB\subset (ABC),AB\perp BC$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$. Theo giả thiết ta có $\widehat{SBA}=60^{\circ }$.
- Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
- Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.