Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, các cạnh bên của hình chóp bằng $\sqrt{6}\text{ cm}$, $AB=4\text{ cm}$. Khi thể tích khối chóp $S.ABCD$ đạt giá trị lớn nhất, tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp $S.ABCD$.

Dựng $SH\perp (ABCD)$, do $SA=SB=SC=SD=\sqrt{6}\text{ cm}$ nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật tâm $H=AC\cap BD$.
Đặt $BC=x>0$, suy ra $AC=\sqrt{x^2+16}$ và $SH=\sqrt{6-\frac{x^2+16}{4}}=\frac{\sqrt{8-x^2}}{2}$.
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}\cdot 4x\cdot \frac{\sqrt{8-x^2}}{2}=\frac{2}{3}x\sqrt{8-x^2}\le \frac{2}{3}\cdot \frac{x^2+8-x^2}{2}=\frac{8}{3}$.
Dấu bằng xảy ra khi $x=2\text{ cm}$, khi đó $SH=1\text{ cm}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là $R=\frac{S{B}^2}{2SH}=\frac{6}{2\cdot 1}=3\text{ cm}$.
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S.ABCD$ là $S=4\pi R^2=36\pi {\text{ cm}}^2$.