Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,SD$. Mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MN$ và cắt các cạnh $SB,SC$ lần lượt tại $Q,P$. Đặt $\frac{SQ}{SB}=x$, và $V_1$ là thể tích của khối chóp $S.MNPQ$, $V$ là thể tích khối chóp $S.ABCD$. Tìm $x$ để $V_1=\frac{1}{2}V$.

Chọn D.
Vì $AD\parallel BC$ nên mặt phẳng $(\alpha )$ chứa $MN\parallel AD$ cắt $(SBC)$ theo giao tuyến $QP\parallel BC\parallel AD$.
Từ đây ta có $\frac{SP}{SC}=\frac{SQ}{SB}=x$.
Chia khối chóp $S.MNPQ$ thành hai khối tứ diện $S.MNQ$ và $S.MPQ$:
- Áp dụng công thức tỉ số thể tích khối chóp tam giác:
$\frac{V_{S.MNQ}}{V_{S.ADB}}=\frac{SM}{SA}\cdot \frac{SN}{SD}\cdot \frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot x=\frac{x}{4}$.
Vì $V_{S.ADB}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$ nên $V_{S.MNQ}=\frac{x}{8}V$.
- Tương tự:
$\frac{V_{S.NPQ}}{V_{S.DCB}}=\frac{SN}{SD}\cdot \frac{SP}{SC}\cdot \frac{SQ}{SB}=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^2}{2}$.
Vì $V_{S.DCB}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$ nên $V_{S.MPQ}=\frac{x^2}{4}V$.
Do đó $V_1=V_{S.MNPQ}=V_{S.MNQ}+V_{S.MPQ}=\left(\frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}\right)V$.
Theo yêu cầu bài toán: $V_1=\frac{1}{2}V\iff \frac{x^2}{4}+\frac{x}{8}=\frac{1}{2}\iff 2x^2+x-4=0\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}\\ x=\frac{-1-\sqrt{33}}{4}\end{array}\right]$ (loại nghiệm âm vì $x>0$).
Vậy giá trị cần tìm là $x=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}$.