Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$ tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$, $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Góc phẳng nhị diện $[A,BC,S]$ có số đo bằng $a^{\circ },a>0$. Giá trị của $a$ bằng

Trong hình thoi $ABCD$ cạnh $a$ tâm $O$, hai đường chéo vuông góc tại $O$. Từ $OB=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ suy ra $OC=\sqrt{B{C}^2-O{B}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.
Kẻ $OH\perp BC$ tại $H$, ta có $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}=\frac{3}{a^2}+\frac{3}{2a^2}=\frac{9}{2a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Do $SO\perp (ABCD)$ và $OH\perp BC$ nên $SH\perp BC$, suy ra góc phẳng nhị diện $[S,BC,O]$ (cũng là $[A,BC,S]$) là $\widehat{SHO}$.
Ta có $\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\frac{a\sqrt{6}/3}{a\sqrt{2}/3}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{SHO}=60^{\circ }$. Vậy giá trị của $a$ bằng $60$.