Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$; cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng $45^{\circ }$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SC$ và $BD$ bằng

Chọn B

Ta có góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}=45^{\circ }$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\Rightarrow AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SA=AC\cdot \tan 45^{\circ }=a\sqrt{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, $O=AC\cap BD$.
Khi đó $MO$ là đường trung bình của tam giác $SAC\Rightarrow MO\parallel SC\Rightarrow SC\parallel (MBD)$.
Do đó $d(SC,BD)=d(SC,(MBD))=d(C,(MBD))=d(A,(MBD))$.
Khối $AMBD$ là tứ diện vuông tại $A$ với ba cạnh $AM,AB,AD$ đôi một vuông góc:
$AM=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2},AB=a,AD=a$.
$\frac{1}{d^2(A,(MBD))}=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{4}{a^2}\Rightarrow d(A,(MBD))=\frac{a}{2}$.
Vậy $d(SC,BD)=\frac{a}{2}$.