Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ bằng $60^{\circ }$ (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng

Chọn B.
Gọi $O=AC\cap BD$. Ta có $AO\perp BD$ và $SA\perp BD$ nên $BD\perp (SAO)$.
Kẻ $AH\perp SO$ tại $H$. Vì $BD\perp (SAO)$ nên $BD\perp AH$, suy ra $AH\perp (SBD)$.
Do đó hình chiếu của $SA$ lên mặt phẳng $(SBD)$ là đường thẳng $SH$.
Góc giữa $SA$ và mặt phẳng $(SBD)$ là góc $\widehat{ASH}=\widehat{ASO}=60^{\circ }$.
Vì đáy là hình vuông cạnh $a$ nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Trong tam giác vuông $SAO$ tại $A$:
$SA=\frac{AO}{\tan \widehat{ASO}}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\tan 60^{\circ }}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$
Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}$.