Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ bằng?

Gọi $O=AC\cap BD$. Vì $O$ là trung điểm $AC$ nên $d(C,(SBD))=d(A,(SBD))$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, vì tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\perp (ABCD)$ và $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Ta có $AH$ cắt $(SBD)$ tại $B$ với $\frac{BA}{BH}=2\Rightarrow d(A,(SBD))=2d(H,(SBD))$. Tính khoảng cách từ $H$ đến $(SBD)$ suy ra $d(C,(SBD))=\frac{\sqrt{21}a}{7}$.