Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$, $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=a\sqrt{3}$ và $BD=2a$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng

Ta có $BD=AB\sqrt{2}=2a\Rightarrow AB=a\sqrt{2}$.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CD,SC$. Khi đó:
$CD\perp OM$ (do $OM\parallel AD\perp CD$) và $CD\perp ON$ (do $ON\parallel SA\perp CD$).
Suy ra $CD\perp (OMN)\Rightarrow (SCD)\perp (OMN)$ theo giao tuyến $MN$.
Kẻ $OH\perp MN$ tại $H$, suy ra $OH\perp (SCD)$, do đó $d(O,(SCD))=OH$.
Tam giác $OMN$ vuông tại $O$ với $OM=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $ON=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{N}^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{10}{3a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{30}}{10}.$