Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là nửa lục giác đều $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD=2a$ và có cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ với $SA=a\sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E=AB\cap CD$. Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều đường kính $AD=2a$ nên $△ADE$ đều cạnh $2a$ và $B,C$ lần lượt là trung điểm của $AE,DE$. Do đó $\frac{d(B,(SCD))}{d(A,(SCD))}=\frac{EB}{EA}=\frac{1}{2}$.

Mặt khác $△ACD$ vuông tại $C$ (do nội tiếp đường tròn đường kính $AD$) nên $CD\perp AC$. Kết hợp $CD\perp SA\Rightarrow CD\perp (SAC)$.

Kẻ $AH\perp SC$ tại $H$, khi đó $AH\perp (SCD)\Rightarrow d(A,(SCD))=AH$.

Với $AC=a\sqrt{3}$ và $SA=a\sqrt{6}$, ta có $AH=\frac{SA\cdot AC}{\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}}=\frac{a\sqrt{6}\cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{6a^2+3a^2}}=a\sqrt{2}$.

Vậy $d(B,(SCD))=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.