Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{AB{B}^{\prime }}=\widehat{ABC}=\widehat{CB{B}^{\prime }}=60^{\circ }$, $AB=2,BC=3,B{B}^{\prime }=1$. Gọi $M$ điểm thuộc đường thẳng $AC$, $N$ là điểm thuộc đường thẳng $D{C}^{\prime }$ sao cho hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ cùng phương. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(2;3;1)$, $B(1;2;-1)$, $C(3;-2;6)$.

Vào dịp kỷ niệm Quốc khánh 02/9/2025, thành phố X tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 ống bắn pháo hoa $A$ và $B$ được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m, ống bắn $A$ đặt nghiêng so với mặt đất một góc $80^{\circ }$ và ống bắn $B$ nghiêng so với mặt đất một góc $70^{\circ }$. Hai pháo $A$ và $B$ được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường $100m$ thì nổ. Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.



Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu $m$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;-3;3)$, $\vec{b}=(0;2;-1)$, $\vec{c}=(3;-1;5)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}$.

Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=\sqrt{6}$, $AD=\sqrt{3}$, $A^{\prime }C=3$ và mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ vuông góc với mặt đáy. Biết hai mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ tạo với nhau góc $\alpha$ có $\tan \alpha =\frac{3}{4}$. Gọi $M$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $K$ là hình chiếu của $B$ trên $AC$.

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2),C(0;3;2),A^{\prime }(9;0;5)$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$. Gọi $M$ là điểm trong không gian thỏa mãn: $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^{\circ }$ ($M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và góc $O$). Tính $x_M+y_M+z_M$