Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AD=a,A{A}^{\prime }=2a,AB=AC=A{C}^{\prime }=A{B}^{\prime }$. Biết góc giữa $(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$, thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $ABCD$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là các hình bình hành.



Hạ $AO\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$. Theo giả thiết $AB=AC=A{C}^{\prime }=A{B}^{\prime }$ nên $OB=OC=O{C}^{\prime }=O{B}^{\prime }$, suy ra hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ nội tiếp đường tròn $(O;OB)$ nên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình chữ nhật có tâm $O$.

Gọi $E$ là trung điểm $BC$, ta có $OE\perp BC\Rightarrow BC\perp (AOE)$, do đó $\left((AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }),(ABCD)\right)=\left((BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }),(ABCD)\right)=\widehat{OEA}=60^{\circ }$.

Vì $OE=\frac{1}{2}B{B}^{\prime }=a$ nên trong tam giác vuông $AOE$: $AO=OE\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.

Diện tích hình chữ nhật $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là $S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=BC\cdot B{B}^{\prime }=a\cdot 2a=2a^2$.

Khi đó $V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=3V_{A.BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=3\cdot \frac{1}{3}\cdot AO\cdot S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=a\sqrt{3}\cdot 2a^2=2\sqrt{3}{a}^3$.