Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của $A^{\prime }$ trên $(ABC)$ là trung điểm của $BC$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với các cạnh bên và cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại $D,E,F$. Biết mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ vuông góc với mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và chu vi của tam giác $DEF$ bằng $4$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).
Thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $a+b\sqrt{c}$ với $a,b,c\in \mathbb{Z}$ và $\sqrt{c}$ tối giản. Tổng $a+b+c$ bằng