Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A{A}^{\prime }$. Cho biết $AB=2$, $BC=\sqrt{13}$, $C{C}^{\prime }=4$.

Đáp án: S S Đ Đ.
a) Sai: Tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{13-4}=3$ $\Rightarrow V_{ltru}=\frac{1}{2}.2.3.4=12$.
b) Sai: $d(A^{\prime }C,FE)=\frac{6}{\sqrt{61}}$ (theo tính toán chi tiết ở ý b).
c) Đúng: vì AB vuông góc với mp (ACA').
d) Đúng: $\cos \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{AC}{A^{\prime }C}=\frac{3}{\sqrt{9+16}}=\frac{3}{5}$.
a) Sai.

Tam giác ABC vuông tại A $\Rightarrow AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{13-4}=3$
$\Rightarrow V_{ltru}=\frac{1}{2}.2.3.4=12$
b) Sai.
$d(A^{\prime }C,FE)=d(FE,(A^{\prime }BC))=d(E;(A^{\prime }BC))=\frac{1}{2}d(A;(A^{\prime }BC))=\frac{1}{2}d$
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{A{C}^2}+\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{A}^2}=\frac{1}{9}+\frac{1}{4}+\frac{1}{16}=\frac{61}{144}\Rightarrow d=\frac{12}{\sqrt{61}}\Rightarrow d(A^{\prime }C,FE)=\frac{6}{\sqrt{61}}$
c) Đúng: vì AB vuông góc với mp (ACA').
d) Đúng.
Góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng đáy $(ABC)$ bằng A'CA
$\Rightarrow \cos \widehat{A^{\prime }CA}=\frac{AC}{A^{\prime }C}=\frac{3}{\sqrt{9+16}}=\frac{3}{5}$