Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác vuông tại $A$. Biết $AB=a\sqrt{15}$, $AC=a$, $A{A}^{\prime }=2a$ (tham khảo hình bên dưới).

Góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ bằng

Hình vẽ giải chi tiết:

Ta có:
$$\{\begin{array}{l}AB\perp AC\\ AB\perp A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow AB\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\text{ tại }A$$
Do đó $A$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Suy ra $A{C}^{\prime }$ là hình chiếu vuông góc của $B{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Vậy góc giữa đường thẳng $B{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ là góc $\widehat{B{C}^{\prime }A}$.
Trong tam giác vuông $AC{C}^{\prime }$ tại $C$:
$$A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+C{C}^{\prime 2}}=\sqrt{a^2+(2a{)}^2}=a\sqrt{5}$$
Trong tam giác vuông $BA{C}^{\prime }$ tại $A$:
$$\tan \widehat{B{C}^{\prime }A}=\frac{AB}{A{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{15}}{a\sqrt{5}}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{B{C}^{\prime }A}=60^{\circ }$$
Chọn đáp án A.