Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $O^{\prime }$ là trọng tâm của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $(N)$ là hình nón ngoại tiếp hình chóp $O^{\prime }.ABC$. Góc giữa đường sinh $(N)$ và mặt đáy là $60^{\circ }$, khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }B$ và $C^{\prime }C$ bằng $a\sqrt{3}$. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.