Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$. Một hình tứ diện đều có hai đỉnh nằm trên đường thẳng $A{C}^{\prime }$, hai đỉnh còn lại nằm trên đường thẳng $B{A}^{\prime }$. Tính thể tích của tứ diện đó.

Chọn D.

Gọi $x$ ($0<x$) là cạnh của tứ diện đều.
Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là $A{B}^{\prime }$. Do $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông nên ta có $A{B}^{\prime }\perp A^{\prime }B\Rightarrow (A{C}^{\prime },A^{\prime }B)=90^{\circ }$. Gọi $E$ là trung điểm của $A{B}^{\prime }$. Khi đó thể tích khối tứ diện đều là $V=\frac{x^3\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{6}{x}^2\cdot d(A{C}^{\prime },B{A}^{\prime })\cdot \sin (A{C}^{\prime },B{A}^{\prime })=\frac{1}{6}{x}^2\cdot d(A{C}^{\prime },B{A}^{\prime })$.
Ta có $\{\begin{array}{l}{A}^{\prime }B\perp A{B}^{\prime }\\ A^{\prime }B\perp A^{\prime }{C}^{\prime }\end{array}\Rightarrow A^{\prime }B\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }),A^{\prime }B\cap (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })=E$.
Gọi $F$ là hình chiếu vuông góc của $E$ lên $A{C}^{\prime }\Rightarrow d(A{C}^{\prime },A^{\prime }B)=EF$.
Ta có $△B^{\prime }A{C}^{\prime }\sim △FAE\Rightarrow \frac{FE}{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{AE}{A{C}^{\prime }}\Rightarrow FE=\frac{AE}{A{C}^{\prime }}\cdot B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{a\sqrt{2}}{2\cdot a\sqrt{3}}\cdot a=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
Do đó $\frac{x^3\sqrt{2}}{12}=\frac{1}{6}{x}^2\cdot \frac{a\sqrt{6}}{6}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{3}a\Rightarrow V=\frac{a^3\sqrt{6}}{108}$.