Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$ và $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $AD$.
1) Tính khoảng cách hai đường thẳng $N{O}^{\prime }$ và đường thẳng $PQ$.
2) Gọi $M^{\prime }$, $N^{\prime }$, $P^{\prime }$, $Q^{\prime }$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$, $C^{\prime }{D}^{\prime }$, $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó một vật thể $(\alpha )$ là phần giao nhau của hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$, $O^{\prime }.MNPQ$. Tính thể tích vật thể $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A^{\prime }(0,0,a)$, $B^{\prime }(a,0,a)$, $C^{\prime }(a,a,a)$, $D^{\prime }(0,a,a)$. Khi đó $O\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\right)$, $O^{\prime }\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},a\right)$, $M\left(\frac{a}{2},0,0\right)$, $N\left(a,\frac{a}{2},0\right)$, $P\left(\frac{a}{2},a,0\right)$, $Q\left(0,\frac{a}{2},0\right)$.

**1) Khoảng cách giữa $N{O}^{\prime }$ và $PQ$.**
Đường $PQ$ đi qua $P$ có VTCP $\vec{u}=\overrightarrow{QP}=(1,1,0)$ (sau khi rút gọn). Đường $N{O}^{\prime }$ đi qua $N$ có VTCP $\vec{v}=\overrightarrow{N{O}^{\prime }}=\left(-\frac{a}{2},0,a\right)\sim (-1,0,2)$. Ta có $\overrightarrow{PN}=N-P=\left(\frac{a}{2},-\frac{a}{2},0\right)$ và
$$\vec{u}\times \vec{v}=(1,1,0)\times (-1,0,2)=(2,-2,1),|\vec{u}\times \vec{v}|=3.$$
$$\overrightarrow{PN}\cdot (\vec{u}\times \vec{v})=\frac{a}{2}\cdot 2+\left(-\frac{a}{2}\right)(-2)+0=2a.$$
Vậy khoảng cách hai đường chéo nhau là $d=\frac{|2a|}{3}=\frac{2a}{3}$.

**2) Thể tích vật thể $(\alpha )$.**
Hai hình chóp $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ (đỉnh $O$ dưới, đáy trên mặt $z=a$) và $O^{\prime }.MNPQ$ (đỉnh $O^{\prime }$ trên, đáy dưới mặt $z=0$) cùng trục là đường thẳng $O{O}^{\prime }$, và hai đáy $MNPQ$, $M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ là hai hình vuông cùng tâm, cùng phương (cạnh $\frac{a}{\sqrt{2}}$, diện tích $\frac{a^2}{2}$).

Thiết diện của $O.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ tại độ cao $z$ là hình vuông cùng tâm, cạnh $\frac{z}{\sqrt{2}}$; thiết diện của $O^{\prime }.MNPQ$ tại $z$ là hình vuông cạnh $\frac{a-z}{\sqrt{2}}$. Vì hai hình vuông đồng tâm đồng phương nên giao của hai thiết diện là hình vuông nhỏ hơn, cạnh $s(z)=\frac{\min (z,a-z)}{\sqrt{2}}$.

Do đối xứng qua mặt phẳng $z=\frac{a}{2}$:
$$V(\alpha )=2{\int }_0^{a/2}\frac{z^2}{2}dz={\int }_0^{a/2}{z}^{2}dz=\frac{1}{3}{\left(\frac{a}{2}\right)}^3=\frac{a^3}{24}.$$

Kiểm tra: $V(\alpha )=\frac{a^3}{24}<\frac{a^3}{12}$ (thể tích mỗi hình chóp $=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{2}\cdot a=\frac{a^3}{6}$), hợp lý.