Cho hình nón $N$ có chiều cao bằng $\frac{3a}{2}$. Mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trục của $N$ và cắt $N$ theo thiết diện là một tam giác vuông. Diện tích toàn phần của hình nón $N$ bằng

Chọn B.
Gọi thiết diện qua trục của nón là tam giác $ACB$ vuông cân tại $C$ với đường cao $CO=h=\frac{3a}{2}$, đáy $AB$ là đường kính hình tròn đáy của nón.
Do tam giác $ACB$ vuông cân tại $C$ nên $CO=\frac{AB}{2}=R\Rightarrow R=\frac{3a}{2}$.
Đường sinh $l=CA=\sqrt{C{O}^2+O{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3a}{2}\right)}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.
Diện tích toàn phần của hình nón $N$ là:
$S_{tp}=\pi Rl+\pi R^2=\pi \cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{3a\sqrt{2}}{2}+\pi {\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=\frac{9\pi a^2}{4}(1+\sqrt{2})$.