Cho hình nón $(N)$ có đường kính đáy không nhỏ hơn $9$. Một mặt phẳng đi qua đỉnh nón và cách tâm đáy nón một khoảng bằng $\frac{4\sqrt{33}}{9}$, cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác đều có cạnh bằng $6$. Tính diện tích xung quanh của nón $(N)$?

Thiết diện qua đỉnh là tam giác đều cạnh $6$ nên độ dài đường sinh là $l=6$. Gọi $r\ge \frac{9}{2}=4,5$ là bán kính đáy, chiều cao nón là $h=\sqrt{36-r^2}$. Khoảng cách từ tâm đáy $O$ đến thiết diện $(SAB)$ với $AB=6$: gọi $M$ là trung điểm $AB$, ta có $OM=\sqrt{r^2-3^2}=\sqrt{r^2-9}$ và $SM=3\sqrt{3}$. Khi đó $d(O,(SAB))=\frac{h\cdot OM}{SM}=\frac{\sqrt{(36-r^2)(r^2-9)}}{3\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{33}}{9}⟺(36-r^2)(r^2-9)=176⟹r^2=25$ (vì $r\ge 4,5$) $⟹r=5$. Diện tích xung quanh là $S_{\text{xq}}=\pi rl=\pi \cdot 5\cdot 6=30\pi$.