Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn $(O;R)$ và $(O^{\prime };R)$. Tồn tại dây cung $AB$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $\Delta O^{\prime }AB$ là tam giác đều và mặt phẳng $(O^{\prime }AB)$ hợp với mặt phẳng chứa đường tròn $(O)$ một góc $60^{\circ }$. Khi đó diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình trụ là

Chọn D.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $OI\perp AB$ và $O^{\prime }I\perp AB$.
Góc giữa $(O^{\prime }AB)$ và mặt phẳng đáy $(O)$ là góc $\widehat{O^{\prime }IO}=60^{\circ }$.
Tam giác $O^{\prime }OI$ vuông tại $O$, ta có: $O{O}^{\prime }=OI\cdot \tan 60^{\circ }=OI\sqrt{3}$, và $O^{\prime }I=\frac{OI}{\cos 60^{\circ }}=2OI$.
Đặt $AB=x$, vì $\Delta O^{\prime }AB$ đều nên $O^{\prime }I=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2OI=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OI=\frac{x\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông $OIA$, ta có: $O{A}^2=O{I}^2+I{A}^2\Rightarrow R^2={\left(\frac{x\sqrt{3}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{7x^2}{16}\Rightarrow x=\frac{4R}{\sqrt{7}}$.
Suy ra chiều cao hình trụ $h=O{O}^{\prime }=OI\sqrt{3}=\frac{x\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{3x}{4}=\frac{3R}{\sqrt{7}}$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R \cdot \frac{3R}{\sqrt{7}} = \frac{6\pi R^2}{\sqrt{7}} = \frac{6\pi R^2 \sqrt{7}}{7}.