Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Đẳng thức nào sau đây đúng?

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), và góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án A đúng. (Cách khác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2+0=a^2$.)