Cho khối lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$. Khoảng cách từ điểm $A^{\prime }$ đến mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

Gọi $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ đều cạnh $2a$ nên $A^{\prime }M=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }M$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{A}^{\prime }⟹B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (A{A}^{\prime }M)⟹(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })\perp (A{A}^{\prime }M)$. Kẻ $A^{\prime }H\perp AM$ tại $H⟹A^{\prime }H\perp (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }H=a$. Trong tam giác vuông $A{A}^{\prime }M$ tại $A^{\prime }$: $\frac{1}{A^{\prime }{H}^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{A^{\prime }{M}^2}⟺\frac{1}{a^2}=\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}+\frac{1}{3a^2}⟹A{A}^{\prime }=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ: $V=S_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{2}$.