Cho lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi có cạnh $a$, $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ và $A^{\prime }A=a\sqrt{5}$. Biết rằng mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ vuông góc với mặt đáy và hai mặt phẳng $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C),(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$ tạo với nhau góc $45^{\circ }$. Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.