Cho lăng trụ tứ giác $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Biết $A{A}^{\prime }=A^{\prime }B=A^{\prime }D$ và cạnh bên $A{A}^{\prime }$ hợp với mặt phẳng đáy góc $60^{\circ }$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $C{C}^{\prime }$ và $BD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ nên $\widehat{BAD}=120^{\circ }$, tam giác $ABD$ cân tại $A$ có $BD=a\sqrt{3}$ và $AC=a$. Vì $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }D$ nên hình chiếu vuông góc $H$ của $A^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$, nằm trên đường thẳng $AC$. Do đó $BD\perp AC$ và $BD\perp A^{\prime }H⟹BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$. Gọi $O=AC\cap BD$, trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ kẻ $OK\perp A{A}^{\prime }$ (hoặc $C{C}^{\prime }$), khi đó $OK$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $C{C}^{\prime }$. Vì $(A{A}^{\prime },(ABCD))=\widehat{A^{\prime }AC}=60^{\circ }$ và $OC=\frac{a}{2}$, ta có $d(C{C}^{\prime },BD)=OC\sin 60^{\circ }=\frac{a}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{4}$.