Cho số nguyên dương $n\ge 3$ và một số nguyên tố lẻ $p$. Với mỗi $S$ là tập hợp gồm $n$ số nguyên dương phân biệt, ta ký hiệu $l_p(S)$ là số các lũy thừa cơ số $p$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của ba phần tử đôi một khác nhau thuộc $S$. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể có của $l_p(S)$ theo $n$, $p$.

Giả sử các lũy thừa cơ số $p$ biểu diễn được là $p^{a_1}<p^{a_2}<\cdots <p^{a_t}$, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $t$.

Gọi $A_i$ là tập gồm 3 phần tử sao cho tổng các phần tử trong $A_i$ bằng $p^{a_i}$, với $i=1,2,\dots t$.

Ta có $|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_t|\le n$.

Nhận xét: Với mỗi $i\ge 2$, ta có $A_i\setminus (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{i-1})\ne \varnothing$.

Giả sử phản chứng, tức $(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{i-1})\subset A_i$.

Khi đó cứ với $x\in A_i$ thì tồn tại $j<i$ sao cho $x\in A_j$ thì $x<{\sum }_{a\in A_j}a=p^j\le p^{i-1}$.

Từ đó tổng các phần tử của $A_i$ bé hơn $3p^{i-1}<p^i$, vô lý. Nhận xét được chứng minh.

Từ nhận xét trên ta có $|A_1|=3$, $|A_2\setminus A_1|\ge 1$, $|A_3\setminus (A_1\cup A_2)|\ge 1,\dots$

Do đó $n\ge |A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_t|\ge 3+1+1+\cdots +1=3+(t-1)=t+2$.

Vậy $t\le n-2$. Dấu bằng xảy ra chẳng hạn với tập

$$S=\{1,2,p^2-3,p^3-3,\dots p^{n-2}-3\}$$

Vậy giá trị lớn nhất của $l_p(S)$ bằng $n-2$.