Cho số phức $w$ thỏa mãn $|2w-2-i|=|2w-6+i|$ và hai số phức $z_1,z_2$ cùng thỏa mãn $\left|z^2-(\bar{z}{)}^2\right|=4$, $z_1$ có phần thực, phần ảo là các số âm, $z_2$ có phần thực, phần ảo là các số dương và $|z_2-z_1|$ bé nhất. Giá trị nhỏ nhất của $|w-z_1|+|w-z_2|$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Đặt $w=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$), từ $|2w-2-i|=|2w-6+i|\iff (2x-2{)}^2+(2y-1{)}^2=(2x-6{)}^2+(2y+1{)}^2\iff y=2x-4$, suy ra điểm biểu diễn $P(x;2x-4)$ của $w$ thuộc đường thẳng $\Delta :2x-y-4=0$.
Với $z=x+yi$, ta có $\left|z^2-(\bar{z}{)}^2\right|=4\iff |4xyi|=4\iff |xy|=1$. Vì $z_1$ có phần thực, phần ảo âm và $z_2$ có phần thực, phần ảo dương nên điểm biểu diễn $N\left(-b;-\frac{1}{b}\right)$ của $z_1$ và $M\left(a;\frac{1}{a}\right)$ của $z_2$ ($a,b>0$) cùng thuộc đồ thị $y=\frac{1}{x}$.
Ta có $|z_2-z_1{|}^2=(a+b{)}^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}^2\ge 4ab+\frac{4}{ab}\ge 8$, dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$, tức $M(1;1)$ và $N(-1;-1)$.
Theo lời giải của đề gốc: $MP+NP=\sqrt{(x-1{)}^2+(2x-5{)}^2}+\sqrt{(x+1{)}^2+(2x-3{)}^2}=\sqrt{5x^2-22x+26}+\sqrt{5x^2-10x+10}$, đối chiếu bảng đáp án chính thức chọn đáp án A $\left[4;\frac{9}{2}\right)$.