Cho số phức $z$ thỏa mãn $|4z+3i|=|4z-4+5i|$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+i|+|z-3i|$.

Gọi $M(x;y)$ là điểm biểu diễn của $z$. Từ $|4z+3i|=|4z-4+5i|$ suy ra $M$ thuộc đường thẳng $d:2x-y-2=0$. Khi đó $P=MA+MB$ với $A(0;-1),B(0;3)$ nằm cùng phía so với $d$. Gọi $A^{\prime }\left(\frac{4}{5};-\frac{7}{5}\right)$ là điểm đối xứng với $A$ qua $d$, ta có $P=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B=2\sqrt{5}$.