Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z+2-i|+|z-4-7i|=6\sqrt{2}$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=|z-1+i|$. Giá trị của tổng $S=M+m$ là

Chọn C.
Gọi điểm biểu diễn số phức $z$ là $N(x;y)$.
Gọi $A(-2;1)$ là điểm biểu diễn $-2+i$ và $B(4;7)$ là điểm biểu diễn $4+7i$.
Ta có độ dài đoạn thẳng $AB$ là:
$$AB=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(7-1{)}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}.$$
Đẳng thức giả thiết $|z+2-i|+|z-4-7i|=6\sqrt{2}$ trở thành $NA+NB=AB$.
Do đó tập hợp các điểm $N$ biểu diễn số phức $z$ là đoạn thẳng $AB$.
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A(-2;1)$ với VTCP $\overrightarrow{AB}=(6;6)=6(1;1)$ là $x-y+3=0$ với $x\in [-2;4]$.
Biểu thức $P=|z-(1-i)|$ chính là khoảng cách từ điểm $C(1;-1)$ đến điểm $N\in [AB]$.
Hình chiếu của $C(1;-1)$ lên đường thẳng $AB$ là điểm $H$:
$$d(C,AB)=\frac{|1-(-1)+3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$
Tọa độ điểm $H$ thỏa mãn $\overrightarrow{CH}=-\frac{5}{2}(1;-1)⟹H\left(-\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)$, có hoành độ $x_H=-1.5\in [-2;4]$, nên $H$ thuộc đoạn thẳng $AB$.
Do đó giá trị nhỏ nhất của $P$ là $m=CH=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
Khoảng cách từ $C$ đến hai đầu mút $A$ và $B$:
$$CA=\sqrt{(-2-1{)}^2+(1-(-1){)}^2}=\sqrt{(-3{)}^2+2^2}=\sqrt{13}.$$
$$CB=\sqrt{(4-1{)}^2+(7-(-1){)}^2}=\sqrt{3^2+8^2}=\sqrt{9+64}=\sqrt{73}.$$
Vì $\sqrt{73}>\sqrt{13}$ nên giá trị lớn nhất của $P$ là $M=CB=\sqrt{73}$.
Vậy tổng $S=M+m=\sqrt{73}+\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{73}+5\sqrt{2}}{2}$.