Cho tam giác $ABC$ $(AB<AC<BC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Ba đường cao $A{A}_1,B{B}_1,C{C}_1$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại trực tâm $H$.
a) Gọi $A_0,B_0,C_0$ tương ứng là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$. Gọi $X$ là giao điểm của hai đường thẳng $B_{0}O$ và $C_0{A}_0$, $Y$ là giao điểm của hai đường thẳng $C_{0}O$ và $A_0{B}_0$. Hai đường thẳng $XY$ và $B_0{C}_0$ cắt nhau tại điểm $Z$. Chứng minh đường thẳng $A_{0}H$ vuông góc với đường thẳng $A_{0}Z$.
b) Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng $B{B}_1,C{C}_1$. Chứng minh đường thẳng $MN$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $A_{1}HK$.