Cho tam giác $ABC$ có $AB=7$, $AC=8$, $BC=\sqrt{57}$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) $\cos \hat{A}=\frac{1}{2}$
b) $S_{\Delta ABC}=14\sqrt{3}$ .
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $2\sqrt{19}$ .
d) Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD=\frac{1}{4}AC$. Khi đó: $BD=\sqrt{76}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A\Rightarrow 57=49+64-112\cos A\Rightarrow \cos A=\frac{56}{112}=\frac{1}{2}$, nên a) đúng.

$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$, nên b) đúng.

$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{3}}=\sqrt{19}\ne 2\sqrt{19}$, nên c) sai.

D trên tia đối của tia $AC$ nên $\widehat{BAD}=180^{\circ }-A$, $\cos \widehat{BAD}=-\frac{1}{2}$, $AD=2$. Khi đó $B{D}^2=49+4-2\cdot 7\cdot 2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=67\Rightarrow BD=\sqrt{67}\ne \sqrt{76}$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{49+64-57}{112}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $S=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{3}}=\sqrt{19}\ne 2\sqrt{19}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \widehat{BAD}=-\frac{1}{2}$, $AD=2$, nên $B{D}^2=49+4+14=67$, $BD=\sqrt{67}\ne \sqrt{76}$.