Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}=45^{\circ }$, $\widehat{BCA}=105^{\circ }$ và $BC=4$.

a) $\widehat{CAB}=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Đúng. Kẻ đường cao $CH$ ($H$ thuộc đoạn $AB$ vì $\hat{A}$, $\hat{B}$ nhọn). Tam giác $BCH$ vuông cân tại $H$ nên $CH=BH=\frac{BC}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ có $\hat{A}=30^{\circ }$ nên $AC=2CH=4\sqrt{2}$, $AH=CH\sqrt{3}=2\sqrt{6}$. Suy ra $AB=AH+HB=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$.
b) $CA=4\sqrt{2}$. Đúng.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $4+4\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}+2\sqrt{6}\approx 17,38\approx 17,4$. Sai.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{3}+4$, nửa chu vi $p=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{4\sqrt{3}+4}{2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}}\approx 1,257>\frac{5}{4}$. Đúng.
a) $\widehat{CAB}=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$. Đúng. Kẻ đường cao $CH$ ($H$ thuộc đoạn $AB$ vì $\hat{A}$, $\hat{B}$ nhọn). Tam giác $BCH$ vuông cân tại $H$ nên $CH=BH=\frac{BC}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Tam giác $ACH$ vuông tại $H$ có $\hat{A}=30^{\circ }$ nên $AC=2CH=4\sqrt{2}$, $AH=CH\sqrt{3}=2\sqrt{6}$. Suy ra $AB=AH+HB=2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$.
b) $CA=4\sqrt{2}$. Đúng.
c) Chu vi tam giác $ABC$ là $4+4\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}=4+6\sqrt{2}+2\sqrt{6}\approx 17,38\approx 17,4$. Sai.
d) $S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}(2\sqrt{6}+2\sqrt{2})\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{3}+4$, nửa chu vi $p=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{S}{p}=\frac{4\sqrt{3}+4}{2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}}\approx 1,257>\frac{5}{4}$. Đúng.