Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$, $G$ là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với $BC$, $CA$, $AB$ lần lượt tại $D$, $E$, $F$. Các đường thẳng $GB$, $GC$ cắt $EF$ tương ứng tại $P$, $Q$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $F$, $D$, $M$, $Q$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn nội tiếp $(J)$ của tam giác $GPQ$ tiếp xúc với $PQ$ tại $H$. Gọi $N$ là trung điểm $GH$. Chứng minh rằng $JN$ song song với $IG$.

(6,0 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và góc $\alpha$ với $0^0<\alpha <90^0$. Dựng các tam giác $ABD$, $ACE$ về phía ngoài tam giác $ABC$ sao cho $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90^0$ và $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=\alpha$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Chứng minh khi $\alpha$ thay đổi thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $EDM$ luôn đi qua một điểm cố định khác $M$.

Câu 4 (4,00 điểm).
1) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có $BC$ cố định, $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$, $M$ là trung điểm $BC$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AB$, $AC$ lần lượt cắt tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ tại $E$, $F$. Đoạn thẳng $BF$, $CE$ lần lượt cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$, $L$.
a) Chứng minh rằng $FB\parallel EC$ và $FK\cdot EC=FB\cdot EL$.
b) Gọi $X$ là giao điểm của $BL$ và $CK$. Chứng minh $AX$ luôn đi qua một điểm cố định khi $A$ di chuyển.
2) Cho tập hợp $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập $A$, đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau.

Cho tam giác $ABC$ không cân có $D$, $E$ tương ứng là chân đường phân giác trong và phân giác ngoài của góc $\widehat{BAC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $AC$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $AB$ và $DF$ cắt nhau tại $I$. Gọi $J$ là giao điểm của $AE$ và $DF$; $S$ là giao điểm của $AD$ và $EF$; $Q$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABF$.
a) Chứng minh rằng các điểm $A$, $B$, $D$, $J$ cùng thuộc một đường tròn và $CI$ vuông góc với $SQ$.
b) Giả sử $AE$ và $BF$ cắt nhau tại $X$. Chứng minh rằng ba điểm $C$, $I$, $X$ thẳng hàng.

Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân. Đường tròn nội tiếp $(I)$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Đường thẳng $IE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm $G$ khác $E$. $BG$ cắt $AC$ tại $K$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$.
a) Chứng minh rằng $NE=NK$.
b) Đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt các đường thẳng $BE,BN,BG$ tại $S,P,T$ khác $B$. Gọi $M$ là trung điểm $ST$. Chứng minh rằng các điểm $M,N,O,P$ cùng thuộc một đường tròn.

Với mỗi số nguyên dương $n$, lấy $n+6$ điểm cách đều nhau trên đường tròn. Nối mỗi điểm với điểm cách nó hai điểm trên đường tròn đó để tạo thành các ngôi sao như Hình 1. Gọi $u_n$ là số đo góc ở một đỉnh (tính theo đơn vị radian) của mỗi ngôi sao thì ta được dãy số. Biết $u_{24}=\frac{a}{b}.\pi$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản và $a\in \mathbb{N}$, tính $3a+2b$.

Câu 3 (6,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với góc $ABC$ tù. Các đường phân giác trong $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $I$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm chính giữa cung $BC$ chứa $A$, cung $CA$ chứa $B$ và cung $AB$ chứa $C$ của $(O)$. Đường thẳng $MI$ cắt $EF$ tại $A_1$ và cắt $(O)$ tại $S$, đường thẳng $B{A}_1$ cắt $(O)$ tại điểm $K$ $(S\ne M;K\ne B)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $K,E,S$ thẳng hàng.

b) Đường thẳng $IN$ cắt $DF$ tại $B_1$, đường thẳng $IP$ cắt $DE$ tại $C_1$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $D{A}_1,E{B}_1,F{C}_1$ đồng quy.